Question

給出下列命題：
①函數f（x）=2sin（3x-

π

3

）的圖形向左平移

π

3

個單位后得到函數y=2Sin3x的圖形；
②函數f（x）=x

1

3

-(

1

2

)x在區間（

1

3

，

1

2

）上有零點；
③函數f（x）=e^-x-e^x的圖形上任意點的切線的斜率的最大值為-2；
④若f（x）是周期為π的函數，則恒有f（x+

π

2

）=-f（x）
那么正確命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：根據函數圖象的平移變換法則，求出平移后函數的解析式，可判斷①；根據零點存在定理，可以判斷②；利用導數法，結合基本不等式，分析導函數的取值范圍，可判斷③；舉出反例正切函數，可判斷④

解答：解：①函數f（x）=2sin（3x-

π

3

）的圖形向左平移

π

3

個單位后得到函數y=2Sin[3（x+

π

3

）-

π

3

]=2sin（3x+

2π

3

）的圖形，故①錯誤；
②函數f（x）=x

1

3

-(

1

2

)x在區間（

1

3

，

1

2

）上圖象是連續的，且f（

1

3

）＜0，f（

1

2

）＞0，故函數在區間（

1

3

，

1

2

）上有零點，故②正確；
③函數f（x）=e^-x-e^x的導函數f（x）=-e^-x-e^x≤-2恒成立，故③正確；
④若f（x）是周期為π的函數，則f（x+

π

2

）=-f（x）卻不一定成立，如正切函數，f（0

π

2

）=0，f（

π

2

）無意義，故④錯誤
故正確命題的序號是②③
故答案為：②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的圖象變換，函數的周期性，函數的零點，導函數的幾何意義，是函數圖象和性質的綜合應用．