Question

【題目】已知橢圓：的左、右有頂點分別是、，上頂點是，圓：的圓心到直線的距離是，且橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）平行于軸的動直線與橢圓和圓在第一象限內的交點分別為、，直線、與軸的交點記為，．試判斷是否為定值，若是，證明你的結論．若不是，舉反例說明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 是定值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）寫出的方程，利用點到直線的距離和拋物線的焦點坐標進行求解；（Ⅱ）設出直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、點在圓上及平面向量的數量積公式進行求解.

試題解析:（Ⅰ）方程為：即為：

由題意得

整理得：

，（舍） ∴

橢圓：

（Ⅱ）設直線：，令得 ∴

∴

∴ ∴

∴方程為：

令得 ∴

設，則且

∴

∴ 即：

所以是定值為