Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓： ，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設點是橢圓上異于, 的任意一點，且直線分別與軸交于點， 為坐標原點，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3），證明見解析．

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率以及圓的方程，求出的值，進而可得到橢圓的方程；（2）先設出點的坐標，并表示出，再根據, 在橢圓上，即可求出的最小值，進而可求出此時圓的方程；（3）先設出點的坐標，并寫出直線的方程，進而得到的表達式，再根據點 在橢圓上，即可證得為定值．

試題解析：（1）依題意，得， ，；

故橢圓的方程為

（2）方法一：點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．

由于點在橢圓上，所以． （*）

由已知，則，，

由于，故當時， 取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到

故圓的方程為： ．

方法二：點與點關于軸對稱，故設，

不妨設，由已知，則

故當時， 取得最小值為，此時，

又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為： ．

(3) 方法一：設，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，

故（**）

又點與點在橢圓上，故，，

代入（**）式，得：．

所以為定值．

方法二：設，不妨設，，其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：，

故．

所以為定值