Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線(為參數)，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程，點在直線上，直線與曲線交于兩點．

（1）求曲線的普通方程及直線的參數方程；

（2）求的面積．

Answer 1

【答案】（1），(為參數)；（2）．

【解析】

（1）消參將曲線的參數方程化為普通方程，再將的極坐標方程先化為一般方程，再化為參數方程；

（2）聯立直線與橢圓方程，求出弦長，再求點到的距離，求出的面積.

（1）將曲線，消去參數得，曲線的普通方程為，

∵點在直線上，∴，

∴，展開得，

又，，∴直線的直角坐標方程為，

顯然過點，傾斜角為，∴直線的參數方程為（為參數）．

（2）由（1），將直線的參數方程代入曲線的普通方程得：

，整理得，顯然，

設對應的參數為，，則由韋達定理得，，

由參數的幾何意義得，

又原點到直線的距離為，

因此，的面積為．