Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F₂（l不垂直坐標(biāo)軸），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率為

2

2

，以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π，可求得a=

2

，c=1，從而b²=1，故可求橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程，從而求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0，可得m的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求m的取值范圍．

解答：解：（1）由離心率為

2

2

得：

c

a

=

2

2

①
又由線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π得：πc²=π，c²=1       ②…（2分）
由①，②解得a=

2

，c=1，∴b²=1，∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1…（5分）
（2）由題意，F(xiàn)₂（1，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程為

x2

2

+y2=1
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為（x₀，y₀），則
x0=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)= -

k

2k2+1

∴線段AB的垂直平分線方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)
令y=0，得m=x₀+ky₀=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0即2+

1

k2

＞2，
∴0＜m＜

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定線段AB的垂直平分線方程，屬于中檔題．