Question

若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax2+

15

4

x-9都相切，則a等于

 

．

Answer 1

分析：已知點（1，0）不知曲線y=x³上，容易求出過點（1，0）的直線與曲線y=x³相切的切點的坐標，進而求出切線所在的方程；再利用切線與y=ax²+

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4

x-9相切，只有一個公共點，兩個方程聯系，得到二元一次方程，利用判別式為0，解出a的值．

解答：解：由y=x³?y'=3x²，設曲線y=x³上任意一點（x₀，x₀³）處的切線方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=

3

2

①當x₀=0時，切線方程為y=0，則ax2+

15

4

x-9=0，△=(

15

4

)2-4a×(-9)=0?a=-

25

64

②當x0=

3

2

時，切線方程為y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

?ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0?a=-1∴a=-

25

64

或a=-1．
故答案為：-

25

64

或-1

點評：熟練掌握導數的幾何意義，本題屬于中檔題，應學會當直線與拋物線相切時，考慮判別式為0這一等式．對于本題需提醒的是，對于類似y=ax²+bx+c這種情況，應考慮討論a是否為0這一情形．