Question

若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax2+

15

4

x-9都相切，則a等于（　　）

• A、-1或-

  25

  64

• B、-1或

  21

  4

• C、-

  7

  4

  或-

  25

  64

• D、-

  7

  4

  或7

Answer 1

分析：已知點（1，0）不在曲線y=x³上，容易求出過點（1，0）的直線與曲線y=x³相切的切點的坐標，進而求出切線所在的方程；再利用切線與y=ax²+

15

4

x-9相切，只有一個公共點，兩個方程聯系，得到二元一次方程，利用判別式為0，解出a的值．

解答：解：由y=x³?y'=3x²，設曲線y=x³上任意一點（x₀，x₀³）處的切線方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=

3

2

①當x₀=0時，切線方程為y=0，此直線是y=x³的切線，故ax2+

15

4

x-9=0僅有一解，由△=0，解得a=-

25

64

②當x0=

3

2

時，切線方程為y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

?ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0?a=-1
∴a=-1或a=-

25

64

．
故選A

點評：熟練掌握導數的幾何意義，本題是直線與曲線聯立的題，若出現形如y=ax²+bx+c的式子，應討論a是否為0．