Question

【題目】如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，對角線與相交于點，點在線段上，且，與底面所成角為.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導出平面，進而可得出；

（2）根據直線與底面所成的角為可計算出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能計算出二面角的余弦值.

（1）因為在長方體中，有平面，平面，，

因為四邊形是正方形，所以，

又，從而平面.

而平面，所以；

（2）因為在長方體中，有、、兩兩垂直，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

由（1）知為直線與平面所成的角，

又因為與平面所成角為，所以，所以.

由，得，可知，所以，

又，即，故，

則，，，，，

所以，，

設平面的法向量為，則，

即，令，可得，

因為平面，所以為平面的法向量，即，

所以.

由圖形可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.