Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時,對于任意正實數，不等式恒成立，試判斷實數的大小關系.

Answer 1

【答案】(1)當時增；減；當時減；增；(2)

【解析】

（1）求出函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調性；

（2）設，求導數判斷函數的單調性，求出函數的極值，轉化為，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

令，解得，

當時，在上，，函數單調遞增；

在上，，函數單調遞減.

當時，在上，，函數單調遞減；

在上，，函數單調遞增.

綜上可得：當時，函數在單調遞增，在單調遞減；當時，函數在單調遞減，在單調遞增.

（2）當時，設

則，令，即，解得，

當時，，即單調遞增，

當時，，即單調遞減，

所以，

要使得不等式恒成立，只需，即，

所以，故實數的大小關系為.