Question

（2008•湖北模擬）關于函數f(x)=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a為常數，且a＞0）對于下列命題：
①函數f（x）的最小值為-1；
②函數f（x）在每一點處都連續；
③函數f（x）在R上存在反函數；
④函數f（x）在x=0處可導；
⑤對任意的實數x₁＜0，x₂＜0且x₁＜x₂，恒有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

其中正確命題的序號是

①②⑤

．

Answer 1

分析：①只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；
②函數在點x=0處兩段都有意義且函數值都為-1，故②正確
③函數f（x）在R上不是單調函數
④只需說明在x=0時，兩段導函數都有意義且函數值相等；
⑤結合已知指數函數與一次函數的性質可知，已知函數在R上先增后減，所以任取兩點連線應在圖象的上方

解答：解：①由題意可得函數在x＜0時單調遞減，在x＞0時單調遞增，在點x=0處函數f（x）的最小值是-1，故①正確
②只需說明在點x=0處連續，只需說明在x=0時，兩段都有意義且函數值相等；
③函數f（x）在R上不是單調函數，故不存在反函數，故③錯誤
④f′(x)=

-e-x，x≤0 2a，x＞0

，故④錯誤
⑤結合已知指數函數與一次函數的性質可知，函數在R上先增后減，所以任取兩點連線應在圖象的上方，故⑤正確
故答案為：①②⑤

點評：連續就是函數圖象不間斷，在x=0可導就是導函數在兩段導函數都有意義且函數值相等，函數在某一區間上不單調，就不會有導函數，利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，結合函數圖象，知下凸的函數圖象，任取兩點連線應在圖象的上方．