Question

已知數列a_n=n-16，b_n=（-1）ⁿ|n-15|，其中n∈N^*．
（1）求滿足a_n+1=|b_n|的所有正整數n的集合；
（2）若n≠16，求數列

bn

an

的最大值和最小值；
（3）記數列{a_n b_n}的前n項和為S_n，求所有滿足S_2m=S_2n（m＜n）的有序整數對（m，n）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=|b_n|，把已知通項代入可得關于n的方程，根據絕對值的意義，從而可求符合條件的n
（2）由已知

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

，結合式子的特點，考慮討論n與16的大小關系及n的奇偶性分別對已知式子進行化簡求解最值
（3）結合b_n=（-1）ⁿ|n-15|，需要考慮n與15的大小對已知式子去絕對值，然后討論n的奇偶性代入可求滿足條件的m，n

解答：解：（1）∵a_n+1=|b_n|，
∴n-15=|n-15|，
∴當n≥15時，a_n+1=|b_n|恒成立，
當n＜15時，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N^*}…．…．…．（4分）
（2）∵

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

（i）當n＞16時，n取偶數

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

當n=18時（

bn

an

）_max=

3

2

無最小值
n取奇數時

bn

an

=-1-

1

n-16

n=17時（

bn

an

）_min=-2無最大值  …（8分）
（ii）當n＜16時，

bn

an

=

(-1)n(n-15)

n-16

當n為偶數時

bn

an

=

-(n-15)

n-16

=-1-

1

n-16

n=14時（

bn

an

）_max=-

1

2

（

bn

an

）_min=-

13

14

當n奇數  

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

，n=1，（

bn

an

）_max=1-

1

15

=

14

15

，
n=15，（

bn

an

）_min=0    …（11分）
綜上，

bn

an

最大值為

3

2

（n=18）最小值-2（n=17）…．…..…．（12分）
（3）n≤15時，b_n=（-1）^n-1（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15時，b_n=（-1）ⁿ（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （2k-16）＞0，其中a₁₅b₁₅+a₁₆b₁₆=0
∴S₁₆=S₁₄   m=7，n=8…．（16分）

點評：本題主要考查了數列的和的求解，求解中要注意對所出現式子的化簡，體現了分類討論思想的應用