Question

（本小題滿分12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數
（1）當0≤x≤200時，求函數v（x）的表達式
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）＝x·v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

Answer 1

解：（1）由題意：當0≤x≤20時，v（x）＝60；當20≤x≤200時，設v（x）＝ax＋b．
再由已知得解得………………………………4分
故函數v（x）的表達式為
………………………………6分
（2）依題意并由（1）可得
……………………………8分
當0≤x≤20時，f（x）為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；……9分
當20≤x≤200時，f（x）＝x（200－x）≤²＝．……………10分
當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立．
所以，當x＝100時，f（x）在區間[20,200]上取得最大值．……………11分
綜上，當x＝100時，f（x）在區間[0,200]上取得最大值≈3333．
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
………12分

解析