Question

【題目】已知圓，直線經過點A (1，0).

（1）若直線與圓C相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓C相交于P，Q兩點，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）y＝x－1或y＝7x－7

【解析】試題分析：（1）由直線與圓相切可得圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，設直線點斜式方程，列方程可得斜率，最后驗證斜率不存在時是否滿足條件（2）由垂徑定理可得弦長PQ，而三角形的高為圓心到直線的距離d，所以，利用基本不等式求最值可得當d＝時，S取得最小值2，再根據點到直線距離公式求直線的斜率，即得的方程.

試題解析：（1）①若直線的斜率不存在，則直線，符合題意．

②若直線斜率存在，設直線為，即.

由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，

即，解得，

所求直線方程為，或；

（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線方程為，

則圓心到直線的距離，

又∵三角形面積

∴當d＝時，S取得最小值2，則， ，

故直線方程為y＝x－1，或y＝7x－7.