Question

【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，雙曲線的左、右頂
點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點．
（1）試求雙曲線的標準方程；
（2）記雙曲線的左、右焦點為F1、F2 ， 試在“8”字形曲線上求點P，使得
∠F1PF2是直角．

Answer 1

【答案】解：（1）上半個圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，則圓心為（0，2），半徑為2．
則下半個圓所在圓的圓心為（0，﹣2），半徑為2．
雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，即為（﹣2，0），（2，0），即a=2，
由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點，則令y=2，解得，x=2．
即有交點為（2，2）．
設雙曲線的方程為=1（a＞0，b＞0），
則=1，且a=2，解得，b=2．
則雙曲線的方程為=1；
（2）雙曲線的左、右焦點為F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，則設P（x，y），則有x2+y2=8，
由解得，x2=6，y2=2．
由解得，y=±1，不滿足題意，舍去．
故在“8”字形曲線上所求點P的坐標為（,），（﹣,），
（﹣，﹣），（，﹣）．
【解析】（1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點，即有a=2，令y=2，解得交點，代入雙曲線方程，解得b，進而得到雙曲線的方程；
（2）求出焦點坐標，∠F1PF2是直角，則設P（x，y），則有x2+y2=8，聯立兩半圓的方程及雙曲線方程，解得交點，注意檢驗，即可得到所求的P的坐標．