Question

（2009•奉賢區二模）已知：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，若記點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB．求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標．
（3）試利用所學圓錐曲線知識參照（2）設計一個與直線L過定點有關的數學問題，并解答所提問題．

Answer 1

分析：（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．由拋物線定義得：點P在以F為焦點直線x+2=0為準線的拋物線上，由此能求出拋物線方程．
解法（B）：設動點P（x，y），則

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．當x≤-4時，（x-2）²+y²=（-x-6）²，此時曲線不存在．當x＞-4時，（x-2）²+y²=（x+2）²，化簡得：y²=8x．
（2）設直線L：y=kx+b與拋物線交予點（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，設為k，則

y=kx+b y2=8x

，ky2-8y+8b=0，

k≠0 64-32kb≥0

，所以y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

，由此能導出直線為y=k（x-8），所以L過定點（8，0）．
（3）（逆命題）如果直線L過定點（8，0），且與拋物線y²=8x相交于A、B兩點，O為坐標原點．求證：

OA

•

OB

=0．   
證明：設其方程為y=k（x-8），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程組

y=k(x-8) y2=8x

，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²=-64．所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．

解答：解：（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．（1分）
由拋物線定義得：點P在以F為焦點直線x+2=0為準線的拋物線上，（1分）
拋物線方程為y²=8x．（2分）
解法（B）：設動點P（x，y），則

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．
當x≤-4時，（x-2）²+y²=（-x-6）²，
化簡得：y²=8（x+2），顯然x≥-2，而x≤-4，此時曲線不存在．
當x＞-4時，（x-2）²+y²=（x+2）²，化簡得：y²=8x．
（2）設直線L：y=kx+b與拋物線交予點（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，設為k，，則

y=kx+b y2=8x

，ky2-8y+8b=0，

k≠0 64-32kb≥0

，（1分）所以y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

，由OA⊥OB，得

y1

x1

y2

x2

=-1，即

8k

b

=-1，b=-8k，（2分）
直線為y=k（x-8），所以L過定點（8，0）（1分）
（3）（逆命題）如果直線L過定點（8，0），且與拋物線y²=8x相交于A、B兩點，O為坐標原點．求證：

OA

•

OB

=0．   
證明：∵直線L過定點（8，0），
∴設其方程為y=k（x-8），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立方程組

y=k(x-8) y2=8x

，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，
y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）
=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²
=-64．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．