Question

【題目】【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區域內作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.[選修4-1：幾何證明選講]

如圖， 分別與圓相切于點， ， 經過圓心，且，求證： .

B.[選修4-2：矩陣與變換]

在平面直角坐標系中，已知點， ， ， ，先將正方形繞原點逆時針旋轉，再將所得圖形的縱坐標壓縮為原來的一半、橫坐標不變，求連續兩次變換所對應的矩陣.

C.[選修4-4：坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數）.現以為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，求曲線的極坐標方程.

D.[選修4-5：不等式選講]

已知為互不相等的正實數，求證： .

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】A.根據題意，可以考慮證明，又由，從而問題可得證；B.根據旋轉變換矩陣、伸縮變換矩陣以及矩陣乘法的定義進行運算，問題可得解；C.根據題意，以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，再由參數方程經過消參得到一般方程，再由一般方程化為極坐標方程即可；D.根據題意，可考慮使用分析法進行證明即可.

試題解析：A.解：易得，

又，

故，

所以.

又，

故.

B.解：設將正方形繞原點逆時針旋轉所對應的矩陣為，

則.

設將所得圖形的縱坐標壓縮為原來的一半，橫坐標不變所對應的矩陣為，

則，

所以連續兩次變換所對應的矩陣.

C.解：依題意知（為參數），

因為，

所以，即，

化為極坐標方程得，即，

所以曲線的極坐標方程為.

D.證明：因為， ，

所以要證，

只要證，

即要證，

只需證，

而，故成立.