Question

已知二次函數f（x）對任意實數x均滿足f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4，且f（-1）=0
（1）求f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）=3lnx+b在[1，2]上有兩個不同實數解，求實數b的取值范圍；
（3）設g(x)=mlnx+

1

2

f(x+

1

2

)+

9

8

，若?x＞0，使g（x）≤0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），利用f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4及f（-1）=0，即可求f（x）的表達式；
（2）f（x）=3lnx+b，所以b=x²-x-3lnx-2，設h（x）=x²-x-3lnx-2，求導函數，確定函數的單調性，可得函數的最小值，由此可得實數b的取值范圍；
（3）由題意可得g（x）=mlnx+

1

2

x2(x＞0)，對m分類討論，確定函數的最小值，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4
∴2ax²-8ax+8a+2c=2x²-8x+4
∴a=1，c=-2
∵f（-1）=0
∴a-b+c=0
∴b=-1
∴f（x）=x²-x-2
（2）f（x）=3lnx+b，∴b=x²-x-3lnx-2
設h（x）=x²-x-3lnx-2，則h′（x）=

(2x-3)(x+1)

x

∴當x∈[1，

3

2

）時，h′（x）＜0；當x∈（

3

2

，2]時，h′（x）＞0
∴函數h（x）在（1，

3

2

）上是減函數；在（

3

2

，2）是增函數；
∴h（x）的最小值為h（

3

2

）=-

5

4

-3ln

3

2

又h（1）=-2，h（2）=-3ln2
∵-2＞-3ln2
∴b∈(-

5

4

-3ln

3

2

，-3ln2]；
（3）由題意可得g（x）=mlnx+

1

2

x2(x＞0)
①當m＞0時，g（x）是增函數，顯然?x＞0，如x=e-

1

m

使得g（x）≤0，所以m＞0符合題意； 
②當m=0時，g（x）=

x2

2

＞0恒成立，所以m=0不符合題意
③當m＜0時，g′（x）=

(x- -m )(x+ -m )

x

∴g（x）在（0，

-m

）為減函數，在（

-m

，+∞）為增函數；
∴g（x）_min=g（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

≤0
∴m≤-e
∴m∈（-∞，-e]∪（0，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查存在性問題，用好導數是關鍵．