Question

給出下列四個命題：
①若a，b，c成等比數列，則b²=ac的逆命題是真命題；
②f^′（x₀）=0是f（x）在x=x₀處取得極值的既不充分也不必要條件；
③函數f（x）=|2sinxcosx|x||的最小正周期為

π

2

；
④若數列{a_n}是遞減數列且a_n=-n²+kn+π（n∈N^*），則k∈（-∞，3）．
其中真命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①先求出逆命題，然后取a=b=c=0時，結論不成立，說明命題的真假，對于②，抓住取極值的充要條件進行判定即可，對于③結合函數的奇偶性求解函數的周期，可判定真假，對于④，根據數列的單調性建立關系式，可求出k的范圍．

解答：解：①逆命題：“若b²=ac，則a，b，c成等比數列”，當a=b=c=0時，結論不成立，故命題為假；
②由f'（x₀）=0 推不出極值點，因為有可能是拐點（說明不充分），f（x）在x=x₀處取得極值，但函數f（x）在R上不一定可導，故不能推出f^′（x₀）=0，故Shiite既不充分也不必要條件，故命題為真；
③函數g（x）=2sinxcosx|x|的最小正周期為π，而g（x）為奇函數，則f（x）=|g（x）|=|2sinxcosx|x||的最小正周期為

π

2

，故命題為真；
④根據單調性可知a_n+1＜a_n恒成立，則-（n+1）²+k（n+1）+π＜-n²+kn+π恒成立，即k＜2n+1，又由n∈N+則k＜3，故
命題為真．
故選C．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，以及函數在某點取得極值的條件和三角函數的周期等知識，屬于中檔題．