Question

已知某校5個學生的數學和物理成績如下表

學生的編號i	1	2	3	4	5
數學xi	80	75	70	65	60
物理yi	70	66	68	64	62

（1）假設在對這5名學生成績進行統計時，把這5名學生的物理成績搞亂了，數學成績沒出現問題，問：恰有2名學生的物理成績是自己的實際分數的概率是多少？
（2）通過大量事實證明發現，一個學生的數學成績和物理成績具有很強的線性相關關系的，在上述表格是正確的前提下，用x表示數學成績，用y表示物理成績，求y與x的回歸方程；
（3）利用殘差分析回歸方程的擬合效果，若殘差和在（-0.1，0.1）范圍內，則稱回歸方程為“優擬方程”，問：該回歸方程是否為“優擬方程”．
參考數據和公式：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

；

5

i=1

xiyi=23190，

5

i=1

x

2 i

=24750，
殘差和公式為：

5

i=1

(yi-

?

y

i)．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是A₅⁵，滿足條件的事件是恰好有兩個是自己的實際分，共有2C₅⁵，根據等可能事件的概率得到結果．
（2）分別做出橫標和縱標的平均數，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．
（3）做出殘差平方差，得到結果是0，根據所給的殘差平方和的范圍，得到所求的線性回歸方程是一個優擬方程．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件是A₅⁵，
滿足條件的事件是恰好有兩個是自己的實際分，共有2C₅⁵，
∴恰有兩個人是自己的實際分的概率是

2 C 2 5

A 5 5

=

1

6

（2）

.

x

=70，

.

y

=66，
b=

80×70+75×66+70×68+65×64+60×62-5×70×66

802+752+702+652+602-5× 702

=0.36，
a=40.8，
∴回歸直線方程為y=0.36x+40.8．
（3）∵殘差和公式為：

5

i=1

(yi-

?

y

i)=0，
∵0∈（-0.1，0.1），
∴回歸方程為優擬方程．

點評：本題考查變量間的相關關系，考查回歸分析的應用，考查新定義問題，是一個基礎題，注意題目的數字運算不要出錯．