Question

若點（1，2）既在函數y=

ax+b

的圖象上，又在它的反函數的圖象上，則ab=

 

．

Answer 1

分析：本題考查了互為反函數的函數圖象之間的關系、求反函數的方法、解方程組等知識和方法；根據點（1，2）在 y=

ax+b

的圖象上，又在它的反函數的圖象上，可以有兩種方法求解：
法一：求出反函數，將點（1，2）分別代入原函數和反函數的方程，構建方程組解得；
法二：利用互為反函數的函數圖象關于y=x對稱這一特點，不求反函數，直接將點（1，2）和關于y=x的對稱點（2，1）分別代入原函數解析式構建方程組獲得．

解答：解：法一：由已知得：

a+b

=2，即a+b=4，
又由 y=

ax+b

解x得：x=

1

a

(y2-b)，
則 y=

ax+b

的反函數為 y=

1

a

(x2-b)，
∵點（1，2）在反函數的圖象上
∴2=

1

a

(1 -b)
與a+b=4聯立解得：a=-3，b=7，
法二：由已知點（1，2）在 y=

ax+b

的圖象上
則

a+b

=2，即a+b=4，
又∵互為反函數的函數圖象關于y=x對稱
∴點（2，1）也在函數 y=

ax+b

的圖象上
由此得：

2a+b

=1，即：2a+b=1，
將此與a+b=4聯立解得：a=-3，b=7，
ab=-21
答案：-21．

點評：本題方法二的解答，巧妙的利用了互為反函數的函數圖象間的關系，將點（1，2）和該點關于y=x的對稱點（2，1）分別代入原函數解析式構建方程組，過程簡捷，計算簡單，回避了求反函數的過程．這要比求出反函數，再將點的坐標代入方便得多，值得借鑒．