Question

（本小題滿分12分）現有一張長為40dm，寬為20dm的長方形鐵皮，準備通過分割、焊接成一個無蓋的長方體水箱（損耗忽略不計）。 （1）若從長方形的四個角各截去一個邊長為dm的小正方形，再把四邊向上翻轉角，焊接成一個無蓋的長方體水箱，求：水箱容積的最大值。（2）設（1）中水箱容積的最大值為M，你是否還有其它的設計方案，使你的設計中得到的長方體水箱的容積比M還大？若有，寫出你的設計方案，并求出它的容積；若沒有，請說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 見解析 

解析:

（1）設截去的小正方形的邊長為dm，則長方體水箱的底面邊長分別為，，高為dm.又設它的容積為，（……………2分）

則（………4分）

令  則

   又只有一個極值，∴它是最大值

當時，

即水箱容積的最大值為（…………………………6分）

（2）還有其它的設計方案（…………………………8分）

方案一：如圖，將切割的兩個邊長為5dm的小正方形拼在對邊中間，再將四邊折起焊接成如圖的長方體水箱

（…………………………12分）

方案二：如圖，將切割的兩個邊長為10dm的小正方形拼在對邊中間，再將四邊折起焊接成如圖的長方體水箱

（…………………………12分）

方案三：如圖，將長方形20×40切割成四個5×20的小長方形，剩下一個20×20的小正方形，按如圖拼接，再將四邊折起焊接成如圖的長方體水箱

（…………………………12分）