Question

【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）點(diǎn)A在圓x2+y2＝16上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點(diǎn)A和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系式，由點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)Q坐標(biāo)滿足的方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過的定點(diǎn).

（1）設(shè)，，因?yàn)?/span>，在直線上，

所以，.①

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以.②

將①式代入②式即得曲線的方程為.

（2）設(shè)，，則，

聯(lián)立，得，

所以，.

因?yàn)橹本�的斜率，

所以為.

令，得 ，

所以直線過定點(diǎn).