Question

【題目】如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵AE平面PAC．
∴BC⊥AE．
因此①正確．
④由①可知：AE⊥BC，
又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
因此④正確．
②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．
又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．
因此②正確．
③AF⊥BC不正確；
用反證法證明：假設AF⊥BC，
又AF⊥PB，PB∩BC=B．
∴AF⊥平面PBC．
這與AE⊥平面PBC相矛盾．因此假設不成立．
故③不正確．
綜上可知：只有①②④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．