Question

（2012•福建）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）選擇（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，可得這個常數的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為

1-cos2α

2

+

1+cos(60°-2α)

2

-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1-

cos2α

2

+

1

4

cos2α+

3

4

sin2α
-

3

4

sin2α-

1-cos2α

4

，化簡可得結果．

解答：解：選擇（2），計算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，故 這個常數為

3

4

．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．
證明：（方法一）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+(

3

2

cosα+

1

2

sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α+

3

2

sinαcosα-

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．
（方法二）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

1-cos2α

2

+

1+cos(60°-2α)

2

-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1-

cos2α

2

+

1

2

（cos60°cos2α+sin60°sin2α）-

3

2

sin2α-

1

2

sin²α
=1-

cos2α

2

+

1

4

cos2α+

3

4

sin2α-

3

4

sin2α-

1-cos2α

4

=1-

cos2α

4

-

1

4

+

cos2α

4

=

3

4

．

點評：本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應用，考查歸納推理以及計算能力，屬于中檔題．