Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 先證明三棱柱是直三棱柱，由CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，證得A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 如圖所示建立直角坐標系A-xyz，求出二面角的兩個面的法向量，求出兩個法向量夾角的
余弦值，此余弦值的相反數即為所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性質可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 證得EF⊥平面ABC，可得，求出三角形AEB的面積和EF的長度，
即可求得結果．
解答：（Ⅰ）證明：因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因為A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因為A₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁中點，所以A₁D⊥B₁C₁．
因為CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A-xyz．
設AB=1，則.，設平面A₁DC的法向量為，
則有，，x=-y=-z，取x=1，得．
又因為，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量為，因為二面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為．
（文答案）（Ⅰ）證明：在圖甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分別為AC、AD的中點，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴．
在圖甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得，，
∴，∴，
∴．
點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，二面角的大小，直線與平面垂直的判定、性質的應用．