Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=2x的焦點為F．設M是拋物線上的動點，則

MO

MF

的最大值為

2 3

3

．

Answer 1

分析：設M（m，n）到拋物線y²=2x的準線x=-

1

2

的距離等于d，由拋物線的定義可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化簡為

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，利用基本不等式可求得最大值．

解答：解：解：焦點F（

1

2

，0），設M（m，n），則n²=2m，m＞0，設M到準線x=-

1

2

的距離等于d，
則由拋物線的定義得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ 1 2

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，
令

m- 1 4

m2+m+ 1 4

=t，則tm²+（t-1）m+

1

4

t+

1

4

=0，
當t=0時，

|MO|

d

=1；
當t≠0時，tm²+（t-1）m+

1

4

t+

1

4

=0有解的充要條件為：△≥0，
即（t-1）²-4t（

1

4

t+

1

4

）≥0?1-3t≥0，
∴t≤

1

3

．
∴t_max=

1

3

，此時(

|MO|

d

)max=

1+ 1 3

=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點評：本題考查拋物線的定義、簡單性質，基本不等式的應用，體現了換元的思想，把

MO

MF

化為

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

是解題的關鍵和難點，屬于難題．