Question

（1）已知圓C與直線x-6y-10=0相切于點（4，-1），且經過點（9，6），求圓C的標準方程．
（2）求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

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的圓的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）設出圓心坐標，因為（4，-1）和（9，6）在圓上，所以利用兩點間的距離公式表示出兩點到設出圓心的距離，并讓其相等列出關于a與b的方程，記作①，然后根據圓的切線垂直于過切點的直徑，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直徑所在直線的斜率，根據切點坐標和求出的斜率寫出直徑所在直線的方程，把圓心坐標代入又得到關于a與b的方程，記作②，聯立①②，即可求出a與b的值得到圓心坐標，然后利用兩點間的距離公式求出圓心到（9，6之間的距離即為圓的半徑，根據圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．
（2）設圓心（t，3t），由題意可得半徑r=3|t|，求出圓心到直線的距離d，再利用垂徑定理，解得t的值，從而得到圓心坐標和半徑，由此求出圓的方程．

解答： 解：（1）、設圓心坐標為（a，b），因為點（4，-1），點（9，6）都是圓上的點，
所以圓心與這兩個點的距離相等，即（a-9）²+（b-6）²=（a-4）²+（b+1）²，
化簡得：50-5a=7b①，
又因為圓與直線x-6y-10=0切于（4，-1），所以直徑所在直線的斜率為-6，
所以經過（4，-1）的圓直徑所在直線的方程為y+1=-6（x-4），
由于圓心在此直線方程上，代入得：b+1=-6（a-4）②，
聯立①②，解得a=3，b=5，即圓心坐標為（3，5），
則圓的半徑r=

(3-9)2+(5-6)2

=

37

，
所以圓的標準方程為：（x-3）²+（y-5）²=37．
（2）、設圓心（t，3t），則由圓與x軸相切，可得半徑r=3|t|．
∵圓心到直線的距離d=

|t-3t|

2

=

2

t，
∴由r²=d²+（

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）²，解得t=±1．
∴圓心為（1，3）或（-1，-3），半徑等于3．
∴圓C的方程為 （x+1）²+（y+3）²=9 或 （x-1）²+（y-3）²=9．

點評：此題考查學生掌握切線的性質，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，會根據圓心與半徑寫出圓的標準方程，是一道綜合題．