Question

設函數f（x）=

|x|

x+2

-ax2，其中a∈R．
（1）當a=2時，求函數f（x）的零點；
（2）當a＞0時，求證：函數f（x）在（0，+∞）內有且僅有一個零點．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，函數f（x）=

|x|- 2x2(x+2)

x+2

，令|x|-2x²（x+2）=0，可得 ①

x≥0 x-2x3-4x2=0

，或②

x＜0 -x-2x3-4x2=0

．分別解①、②求得x的值，可得函數f（x）的零點．
（2）當a＞0時，若x≥0，化簡函數f（x）的解析式為

x(1-ax2-2ax)

x+2

．令f（x）=0，求得f（x）在（0，+∞）上有唯一零點，命題得證．

解答：解：（1）當a=2時，函數f（x）=

|x|

x+2

-2x2=

|x|- 2x2(x+2)

x+2

，
令|x|-2x²（x+2）=0，可得 ①

x≥0 x-2x3-4x2=0

，或②

x＜0 -x-2x3-4x2=0

．
解①可得 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1．
解②可得 x=

2

2

-1．
綜上可得，當a=2時，函數f（x）的零點為 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1，或 x=

2

2

-1．
（2）證明：∵當a＞0時，若 x≥0，則函數f（x）=

|x|

x+2

-ax2=

x

x+2

-ax² =

x(1-ax2-2ax)

x+2

．
令f（x）=0，可得x（1-ax²-2ax）=0，解得 x=0，或 x=-1+

2

，或x=-1-

2

（舍去）．
∴函數f（x）在（0，+∞）上有唯一零點x=-1+

2

．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．