Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，(其中)是上的一點，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知為拋物線上除頂點之外的任意一點，在點處的切線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，設，，的斜率分別為，，，求證：，，成等比數列.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據拋物線的定義可得，由在拋物線列出方程，聯立解方程組即可求出；

(2) 設點，利用導數的幾何意義求出點處切線的斜率，再由點斜式可求出切線的方程，令，可得，從而可設直線的方程為，與聯立方程組消去可得，設，利用根與系數關系可得，再將用，表示并化簡可得，而，從而可證出，，成等比數列.

(1)由題意，得，解得，或，

又，所以，所以拋物線的方程為.

(2)由題意，得直線的斜率存在，且不為0.

由，得，則，設點，則切線的斜率為，

于是切線的方程為，即，所以.

設直線的方程為，代入，

消去并整理，得，

由直線交拋物線于兩點，得.

設，所以，

又,，所以，，

所以，又，

所以，故成等比數列.