Question

【題目】已知函數 ．
（I）如果 在 處取得極值，求 的值．
（II）求函數 的單調區間．
（III）當 時，過點 存在函數曲線 的切線，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數的定義域為 ．

∵ ，

∴ ，

∵函數 在 處取得極值，

∴ ，解得

當 時， ，

∴當 時， 單調遞增；

當 時， 單調遞減，

∴函數 在 處取得極小值，符合題意．

∴

（Ⅱ）因為 ．

①當 時， 恒成立，所以 在 上單調遞減，

②當 時，令 ，得 ，

當 時， ， 單調遞減；

當 時， ， 單調遞增。

綜上，當 時， 的單調減區間為 ；

當 時， 的單調減區間為 ，單調增區間為 。

（III）當 時， ，

設切點坐標為 ，則 .

又 ，

所以切線方程為 ，

將 代入上式得 ．

令 ，所以 ．

當 時，解得 ．

所以當 時， ，函數 單調遞增；

當 時， ，函數 單調遞減．

所以當 時，函數 有極大值，也為最大值，且 ，無最小值．

所以當 時，存在切線．

故 的取值范圍為

【解析】(1)根據題意先求出原函數的導數再利用導數和極值的關系即可求出k的值。(2)首先求導再分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可求出單調區間。(3)根據題意求出切點坐標再利用導數的幾何意義以及導數和最值得關系即可求出。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．