Question

已知函數，.
（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達式；
（Ⅱ）若在上是減函數，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明不等式：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析

試題分析：（Ⅰ）求導數，利用與在處相切，可求的表達式；（Ⅱ） 在上是減函數，可得導函數小于等于 在上恒成立，分離參數，利用基本不等式，可求實數的取值范圍；（Ⅲ）當x≥2時，證明 ，當x＞1時，證明 ，利用疊加法，即可得到結論．
試題解析：解：（Ⅰ）由已知 且  得：     2分
又            3分
（Ⅱ）在上是減函數，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
   得            6分
（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：當時：
 得：        8分
當時： 當時： 當時：
當時：，
上述不等式相加得：
即：     ①         9分
由（Ⅱ）可得：當時：在上是減函數
當時： 即
所以 從而得到：          11分
當時：  當時：  當時：
當時：，
上述不等式相加得：

即  ②
綜上：（）       12分