Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．
（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
（2）若a，b∈R，求A∩B=∅的概率．

Answer 1

（1）因為a，b∈N，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9組．
令函數f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因為a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調遞增函數．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．要使A∩B≠∅，只需-a+

b

2

-1＜0，
即2a-b+2＞0．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7組．
所以A∩B≠∅的概率為

7

9

．

（2）因為a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）對應的區域為邊長為2的正方形（如圖），面積為4．
由（1）可知，要使A∩B=∅，
只需f（x）_min=-a+

b

2

-1≥0⇒2a-b+2≤0，
所以滿足A∩B=∅的（a，b）對應的區域是如圖陰影部分．
所以S_陰影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，所以A∩B=∅的概率為：P=

1

16

．