Question

已知正數數列{a_n}中，a₁=2．若關于x的方程x²-（

an+1

）x+

2an+1

4

=0（n∈N^×））對任意自然數n都有相等的實根．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求證

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

3

（n∈N^×）．

Answer 1

分析：（1）由題意得△=a_n+1-2n-1=0，可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以數列a_n+1是以a₁+1=3為首項，公比為2的等比數列，知數列{

1

an+1

}是以

1

3

為首項，公比為

1

2

的等比數列，于是可以證明

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

3

．

解答：解：（1）由題意得△=a_n+1-2n-1=0，即a_n+1=2a_n+1，進而可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以a_n+1=2（a_n+1），因為a₁+1=3≠0，所以數列a_n+1是以a₁+1=3為首項，公比為2的等比數列，知數列{

1

an+1

}是以

1

3

為首項，公比為

1

2

的等比數列，于是

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

3

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

) = 

2

3

[1-(

1

2

)n] ＜

2

3

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．