Question

已知橢圓的中心在原點，兩焦點F₁，F₂在x軸上，且過點A（-4，3）．若F₁A⊥F₂A，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：設所求的橢圓標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．利用F₁A⊥F₂A，?

F1A

•

F2A

=0，可得c．再利用

16 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+52

，解出即可．
故所求橢圓的標準方程為

x2

40

+

y2

15

=1．

解答：解：設所求的橢圓標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵F₁A⊥F₂A，∴

F1A

•

F2A

=0，
∴（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，
化為16-c²+9=0，解得c=5．
聯立

16 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+52

，解得

a2=40 b2=15

．
故所求橢圓的標準方程為

x2

40

+

y2

15

=1．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、向量垂直與數量積的關系是解題的關鍵．