Question

【題目】己知四棱錐中， 平面，底面是菱形，且． ， 、的中點分別為， ．

（Ⅰ）求證．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并給予證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（）見解析（）（）是中點．

【解析】試題分析：（1）要證BC⊥PE，要轉化為證明BC⊥平面PAE;

（2）以為原點，分別以， ， 為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系,進行計算即可;

（3）設, 利用與平面的一個法向量為垂直，可求得t值，進而得出是中點．

試題解析：

（）證明：連結， ．

∵平面， 平面，

∴．

又∵底面是菱形， ， ，

∴是正三角形．

∵是的中點，

∴．

又∵， 平面， 平面，

∴平面，

∴．

（）由（）得，由可得．

又∵底面，∴， ．

∴以為原點，分別以， ， 為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則， ， ， ， ， ， ．

∵平面，

∴平面的法向量為．

又∵， ．

設平面的一個法向量，則：

，即，令，則， ，

∴．

∴．

∵二面角是銳角，

∴二面角的余弦值為．

（）是線段上的一點，設．

∵，∴．

又∵， ．

設平面的一個法向量為，則：

，即，∴，

∵平面，∴， ，即，

解得．

故線段上存在一點，使得平行于平面， 是中點．