Question

已知函數f(x)=(

1

3

)x，函數g(x)=log

1

3

x．
（1）若函數y=g（mx²+2x+m）的值域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負實數m，n，使得函數y=g[f（x²）]的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲使函數y=g（mx²+2x+m）的值域為R，只需要內層函數的值域中包含了全體正數，當m=0時顯然滿足，當m不為0時，內層函數為二次函數，需要開口向上且判別式大于等于0，即可滿足要求．
（2）x∈[-1，1]時，求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3是一個復合函數，復合函數的最值一般分兩步來求，第一步求內層函數的值域，第二步研究外層函數在內層函數值域上的最值，本題內層函數的值域是確定的一個集合，而外層函數是一個系數有變量的二次函數，故本題是一個區間定軸動的問題．
（3）假設存在，先求出函數y=g[f（x²）]的解析式，為y=x²，則函數在[m，n]上單調增，故有[m²，n²]=[2m，2n]解出m，n的值說明假設成立，若解不出，則說明假設不成立．

解答：解：（1）①當m=0時，滿足條件；
②當m≠0時，有

m＞0 △≥0

?0＜m≤1
綜上可得，0≤m≤1．
（2）令f(x)=t(

1

3

≤t≤3)，則y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²
①當a＜

1

3

時，h(a)=

28

9

-

2

3

a
②當

1

3

≤a≤3時，h（a）=3-a²
③當a＞3時，h（a）=12-6a
故h（a）=

28 9 - 2 3 a    a＜ 1 3 3-a2     1 3 ≤a≤3 12-6a     a＞3

；
（3）假設存在實數m，n滿足條件，則有0≤m＜n，
化簡可得函數表達式為y=x²，則函數在[m，n]上單調遞增，
故值域為[m²，n²]=[2m，2n]
解得m=0，n=2
故存在m=0，n=2滿足條件．

點評：本題的考點是函數的最值及其幾何意義，考查了恒成立的問題，用分段函數表示函數的最小值，以及判斷存在性的問題，涉及到的知識點較多，難度較大，綜合性強．