Question

（本題滿分12分）已知橢圓過點，且離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于
的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）為定值.證明見解析。

本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系的運用的綜合考查，體現了運用代數的方法解決解析幾何的本質的運用。
（1）首先根據題意的幾何性質來表示得到關于a,b,c的關系式，從而得到其橢圓的方程。
（2設出直線方程，設點P的坐標，點斜式得到AP的方程，然后聯立方程組，可知借助于韋達定理表示出長度，進而證明為定值。
（Ⅰ）解：由題意可知，，，
解得.       …………4分
所以橢圓的方程為.     …………5分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設，依題意，
于是直線的方程為，令，則.
即.              …………7分
又直線的方程為，令，則，
即.              …………9分
 …………11分
又在上，所以,即，代入上式，
得,所以為定值.         …………12分