Question

如圖，在三棱錐P-ABC中PA=BC=2

2

，AB=PC=AC平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，AB⊥AC，點M，N分別在PA，CB上運動，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
（Ⅰ）當a為何值時，MN的長最小？
（Ⅱ）當MN最小時，求二面角C-MN-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性質，可得PC⊥平面ABC，以C為原點，建立直角坐標系，求出M，N兩點的坐標后，代入空間兩點距離公式，結合二次函數的圖象和性質，可得結論．
（II）結合（I）中結論，分別求出平面CMN的法向量和平面AMN的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角C-MN-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC?平面PAC
∴PC⊥平面ABC，
故可以C為原點，建立如圖所示直角坐標系：
∵PA=BC=2

2

，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
則M(

2 a

2

，0，2-

2 a

2

)，N(

2 a

2

，

2 a

2

，0)
∴|MN|=

a2-2 2 a+4

≥

2

當且僅當a=

2

，
即M，N分別為PA，CB中點時，MN的長最小．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，MN的長最小時．M（1，0，1），N（1，1，0），A（2，0，0），
故設平面CMN的法向量為

n1

=(x，y，z)
則：

n1 • CM =0 n1 • CN =0

，
令x=1得

n1

=(1，-1，-1)，
同理得平面AMN的法向量得

n2

=(1，1，1)，
故所求二面角的余弦值為cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

1

3

點評：本題考查的知識點是空間兩點之間的距離，二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．