Question

【題目】如圖,三棱柱中,,,平面平面，與相交于點.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先菱形的性質推出，然后利用面面垂直的性質推出平面，從而根據線面垂直的性質使問題得證；（2）以為原點建立空間直角坐標系，然后分別求出相關點的坐標與向量，由此求得平面與平面法向量，從而利用空間夾角公式求解即可．

試題解析：（1）已知側面是菱形，是的中點，∵，∴．

∵平面平面，且平面，平面平面，

∴平面，.

（2）如圖，以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，由已知可得，，，，

∴，，，，，

設平面的一個法向量是，，

由，,

得，可得

∵平面平面，，∴平面，

∴平面的一個法向量是,

∴，即二面角的余弦值是.