Question

已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＜f′（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

• A、f（2）＞e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）
• B、f（2）＜e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）
• C、f（2）＞e²f（0），f（2011）＜e²⁰¹¹f（0）
• D、f（2）＜e²f（0），f（2011）＜e²⁰¹¹f（0）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=

f(x)

ex

，求函數的導數，利用函數單調性即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）＜f′（x） 從而 f′（x）-f（x）＞0，
構造函數g（x）=

f(x)

ex

，
則g′（x）=

ex[f′(x)-f(x)]

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
從而g（x）單調遞增，
則g（2）＞g（0），g（2011）＞g（0），
即

f(2)

e2

＞f（0），

f(2011)

e2011

＞f（0），
則f（2）＞e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0），
故選：A．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，構造函數是解決本題的關鍵．