Question

已知等差數列{a_n}，S_n為其前n項和，a₅=6，S₆=18，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•3ⁿ，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程組，能求出首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=an•3n=(2n-4)•3n，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）該等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d．
由a₅=6，S₆=18，得

a5=a1+4d=6 S6=6a1+ 6×5 2 d=18

，
解得

a1=-2 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=an•3n=(2n-4)•3n，
記數列{b_n}的前n項和為T_n，
則Tn=b1+b2+…+bn=-2•31+0•32+2•33+…+(2n-4)•3n，①
3Tn=-2•32+0•33+2•34+…+(2n-4)•3n+1，②
①-②得-2Tn=-2•31+2(32+33+34+…+3n)-(2n-4)•3n+1
=-6+2×

32(1-3n-1)

1-3

-(2n-4)•3n+1
=-15-（2n-5）•3ⁿ⁺¹．
∴Tn=

(2n-5)•3n+1+15

2

(n∈N*)．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．