Question

已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且僅有四個根，其最大根為t，則函數g(t)＝t²－6t＋7的值域為________．

Answer 1

在直角坐標系中分別畫出函數f(x)在區間[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三個半圓的圖象，最大根t一定在區間(3，4)內，g(t)＝t²－6t＋7是二次函數，對稱軸方程為4＞t＝＞3，g(t)的最小值為g＝－，直線y＝kx(k＞0)與區間[2，4]上半圓相交，與區間[4，6]上半圓相離，故<k²<，而k²＝時，直線與半圓相切，由得(1＋k²)x²－6x＋8＝0，取k²＝，得x²－6x＋7＝－1，t<x，所以g(t)＝t²－6t＋7＜－1