Question

（2012•湖南模擬）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數．他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1，3，6，10，…記為數列{a_n}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{b_n}．可以推測：
（Ⅰ）b₃是數列{a_n}中的第

9

項；
（Ⅱ）b_2k=

5k(5k+1)

2

（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數列{a_n}的通項，由此可列舉出三角形數1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可得結論；
（II）由于2k是偶數，由（I）知，第2k個被5整除的數出現在第k組倒數第一個，故它是數列{a_n}中的第k×5=5k項，由此可得結論．

解答：解：（I）由題設條件可以歸納出a_n+1=a_n+（n+1），
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角數依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知，第3個可被5整除的數為45，是數列{a_n}中的第9項；
（II）由于2k是偶數，由（I）知，第2k個被5整除的數出現在第k組倒數第一個，故它是數列{a_n}中的第k×5=5k項，
所以b_2k=

5k(5k+1)

2

故答案為：9，

5k(5k+1)

2

．

點評：本題考查數列的遞推關系，數列的表示及歸納推理，解題的關鍵是由題設得出相鄰兩個三角形數的遞推關系，由此列舉出三角形數．