Question

設定義在R的函數，R. 當時，取得極大值，且函數的圖象關于點對稱.
（I）求函數的表達式；
（II）判斷函數的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區間上，并說明理由；
 （III）設，（），求證：.

Answer 1

（I）.
（II）兩點的坐標分別為或.
（III）見解析

（I）將函數的圖象向右平移一個單位得到函數的圖象，  
∴ 函數的圖象關于點對稱，即為奇函數. 
∴.                       ……………………………..2分
由題意可得，解得.
∴.                          ……………………………..4分
  （II）存在滿足題意的兩點.                         ……………………………..6分
由（I）得.
假設存在兩切點，，且.
則.   
∵，∴或，
即或. 
從而可求得兩點的坐標分別為或.
…………………………….9分
（III）∵當時，，∴ 在上遞減.
由已知得，∴，即.
……………………………..11分
又時，；時，，
∴在上遞增，在上遞減.
∵，∴.  
∵，且，
∴.          ……………………………13分
∴.  ………………………..14分