Question

【題目】已知函數 (其中為常數且)在處取得極值.

(1)當時，求的極大值點和極小值點；

(2)若在上的最大值為1，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的極大值點為，極小值點為1.(2) 或..

【解析】試題分析：（1）對函數求導得到導函數，根據導函數的零點和導函數的正負得到函數的極值；（2）分， ， 三種請況分析函數的單調性和最值，分別求出參數值，和前者情況取交集即可。

解析：

(1)因為，所以.

因為函數在處取得極值，

，當時， ， ，

， 隨的變化情況如下表：

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.

所以的極大值點為，極小值點為1.

(2)因為.

令得， ，因為在處取得極值，所以，

(i)當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在區間上的最大值為，令，解得.

(ii)當時， ，

①當時， 在上單調遞增， 上單調遞減， 上單調遞增，

所以最大值1可能在或處取得，而，

所以，解得；

②當時， 在區間上單調遞增， 上單調遞增， 上單調遞增，所以最大值1可能在或處取得，而，所以，解得，與矛盾；

③當時， 在區間上單調遞增，在上單調遞減，

所以最大值1可能在處取得，而，矛盾，

綜上所述， 或.