Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2） 若對x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明方程f（x）=[ f（x₁）+f（x₂）]必有一個實數根屬于（x₁，x₂）。
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①當x=-1時，函數f（x）有最小值0；
②對x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²。
若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1），
∴a-b+c=0，b=a+c，
，
當a=c時，△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點。
（2）令，
則，
，
∴，
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內必有一個實根，
即方程必有一個實數根屬于（x₁，x₂）。
（3）假設a，b，c存在，由①得，
，
由②知對，
令x=1得，
由，
當，
其頂點為（-1，0）滿足條件①，
又，滿足條件②，
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足條件①、②。