Question

已知圓C過(guò)定點(diǎn)F（-

1

4

，0），且與直線x=

1

4

相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（I）求曲線E的方程；
（II）當(dāng)△OAB的面積等于

10

時(shí)，求k的值；

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可知點(diǎn)C到定點(diǎn)（-

1

4

，0）和直線x=

1

4

的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可求得點(diǎn)C的軌跡方程．
（II）把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為N，則N的坐標(biāo)可得，進(jìn)而根據(jù)S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN求得k

解答：解：（I）由題意，點(diǎn)C到定點(diǎn)（-

1

4

，0）和直線x=

1

4

的距離相等，
所以點(diǎn)C的軌跡方程為y²=-x
（II）由方程組

y2=-x y=k(x+1)

消去x，整理得ky²+y-k=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1
設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為N，則N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|=

1

2

•1•

(y1+y2) 2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

∵S_△OAB=

10

，求得k=±

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生對(duì)直線與圓錐曲線問(wèn)題中韋達(dá)定理，平面解析幾何的知識(shí)等知識(shí)的綜合運(yùn)用．