Question

設f（x）=a•（log₂x）²+b•log₂x+1（a，b＞為常數）．當x＞0時，F（x）=f（x），且F（x）為R上的奇函數．
（1） 若f（

1

2

）=0，且f（x）的最小值為0，則F（x）的解析式為

 

；
（2） 在（1）的條件下，若g（x）=

f(x)+k-1

log2x

在[2，4]上是單調函數，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的最小值公式求出最小值令其為0，列出方程組求出a，b的值；利用奇函數的定義求出x＜0的解析式；求出F（0），得到F（x）的解析式．
（2）令log₂x=t，將g（x）轉化為不含對數的函數的單調性問題，求出導函數，令導函數大于等于0或小于等于0恒成立，分離出k轉化為函數的最值，求出k的范圍

解答：解：∵f(

1

2

)=0，f(x)的最小值為0
∴

a-b+1=0 4a-b2 4a =0

解得

a=1 b=2

設x＜0則-x＞0
∴F（-x）=f（-x）=[log₂（-x）]²+2log₂（-x）+1
∵F（x）為R上的奇函數
∴F（x）=-F（x）=-[log₂（-x）]²-2log₂（-x）-1
∵F（x）為奇函數
∴F（0）=0
∴F(x)=  

(log2x)2+2log2x +1         x＞0 0                                      x=0 -[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x＜0

（2）∴g(x)=

[log2(x)]2+2log2 (x)+k

log2x

令log₂x=t，t∈[1，2]則y=

t2+2t+k

t

，t∈[1，2]是單調函數
∴y′=

t2-k

t2

≥0或y′=

t2-k

t2

≤ 0（ t∈[1，2]）恒成立
∴k≤t²或k≥t²，t∈[1，2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案為F(x)= 

(log2x)2+2log2x +1         x＞0 0                                      x=0 -[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x＜0

；k≤1或k≥4

點評：本題考查求函數解析式的方法：待定系數法，直接法、考查奇函數的定義、考查知函數的單調性求參數的范圍常轉化為導函數大于等于0或小于等于0恒成立、考查解決恒成立問題常分離參數求函數的最值．