Question

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=

f1(x)     f1(x)≤f2(x)    f2(x)     f1(x)＞f2(x)

．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當2≤a＜9時，設f（x）=f₂（x）所對應的自變量取值區間的長度為l（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當x∈[2，+∞）時，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本問中要代入a=1后，注意f₁（x）與f₂（x）的大小比較，以便于求出f（x）的解析式，進而利用函數的導數概念解決問題．
（Ⅱ）本問中借鑒上問（1）的解題思想，由具體到一般，方法依然是針對a的范圍條件，作差比較出f₁（x）與f₂（x）的大小，
在2≤a＜9時，自變量x取哪些值時f（x）=f₂（x），進而確定求出f（x）的解析式，對參數的討論要結合具體的數值，從直觀到抽象采取分類策略．
（Ⅲ）本問利用（2）的結論容易求解，需要注意的是等價轉化思想的應用，分類討論思想重新在本問中的體現．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f₂（x）=|3^x-9|．
因為當x∈（0，log₃5）時，f₁（x）=3^x-1，f₂（x）=9-3^x，
且f₁（x）-f₂（x）=2•3^x-10＜2•3^log₃5-10=2•5-10=0，
所以當x∈（0，log₃5）時，f（x）=3^x-1，且1∈（0，log₃5）（3分）
由于f'（x）=3^xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切線方程為y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）

（Ⅱ）因為2≤a＜9，所以0＜log3

9

a

≤log3

9

2

，則
①當x≥log3

9

a

時，因為a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，解得x≤log3

8

a-1

，
從而當log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

時，f（x）=f₂（x）（6分）
②當0≤x＜log3

9

a

時，因為a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，解得x≥log3

10

a+1

，
從而當log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

時，f（x）=f₂（x）（7分）
③當x＜0時，因為f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
從而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
綜上得，當且僅當x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]時，f（x）=f₂（x），
故l=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]（9分）
從而當a=2時，l取得最大值為log3

12

5

（10分）

（Ⅲ）“當x∈[2，+∞）時，f（x）=f₂（x）”
等價于“f₂（x）≤f₁（x）對x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）對x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①當a≥1時，log3

9

a

≤2，則當x≥2時，a•3x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，
則（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而當x≥2時，1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，從而a=1適合題意（12分）
②當0＜a＜1時，log3

9

a

＞2．
（1）當x＞log3

9

a

時，（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，此時要求0＜a＜1（（13分）
（2）當x=log3

9

a

時，（*）可化為0≤3x-1=

9

a

-1，
此時只要求0＜a＜9（14分）
（3）當2≤x＜log3

9

a

時，（*）可化為9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
所以a≥

1

9

，此時要求

1

9

≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得

1

9

≤a＜1符合題意要求．
綜合①②知，滿足題意的a存在，且a的取值范圍是

1

9

≤a≤1（16分）

點評：本題考查分段函數的有關概念，函數求值的問題；對函數的導數的概念亦有所考查，含參數的數學問題的討論，注重對分類討論思想，數形結合思想的考查，考查了對近年來高考真題中出現的有關恒成立問題，存在性問題的求解策略，對函數知識的綜合性解題能力有很高的要求，屬于壓軸題的題目難度．本題的求解策略是細讀題意，精確分析采取有難到易，各點擊破的思想，同時注意解題思想的應用．