Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）設是棱上一點，是的中點，若與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）建立空間坐標系：則，，，，所以，，．設平面的法向量為，由，，得且．取，得，，

所以是平面的一個法向量．因為平面ABC，取平面ABC的一個法向量．設二面角的大小為，所以，（2）由（1）知，則，．設（），則，

所以．易知平面，所以是平面的一個法向量．設與平面所成的角為，所以， 即

試題解析：

（1）以D為坐標原點，建立如圖所示空間

直角坐標系，

則，，，，

所以，，．

設平面的法向量為，

由，，得且．

取，得，，

所以是平面的一個法向量．

因為平面ABC，取平面ABC的一個法向量．

設二面角的大小為，所以，

由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．

（2）由（1）知，則，．

設（），則，

所以．

易知平面，所以是平面的一個法向量．

設與平面所成的角為，

所以， 即，得或（舍）．所以，，所以線段的長為．